La somme de deux dés à quatre faces

Ce qu'on montre. La loi d'une somme se construit en comptant les couples, mais son espérance et sa variance s'obtiennent bien plus vite par les théorèmes.

La loi de $S$. Les $16$ couples $(i,j)$ ont tous la probabilité $\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$, par indépendance. On compte ceux dont la somme vaut $s$ :

$s$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$16P(S=s)$	$1$	$2$	$3$	$4$	$3$	$2$	$1$

Le total des effectifs vaut $16$ : chaque issue est comptée une fois et une seule.

L'espérance. Par la loi, $E(S)=\frac{2+6+12+20+18+14+8}{16}=\frac{80}{16}=5$. Par la linéarité, $E(X)=E(Y)=2,5$ donc $E(S)=5$, sans aucune hypothèse d'indépendance.

La variance. $E(X^2)=\frac{1+4+9+16}{4}=7,5$ donne, par Kœnig-Huygens, $V(X)=7,5-2,5^2=1,25$, de même pour $Y$. Ici l'indépendance intervient : elle annule la covariance, donc $V(S)=1,25+1,25=2,5$.

Par la loi, $E(S^2)=\frac{440}{16}=27,5$ et $V(S)=27,5-25=2,5$. Les deux méthodes coïncident.

Le point à retenir. L'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances. La variance ne l'est que si la covariance est nulle — et ici on l'a justifié par l'indépendance, non parce que c'était commode.