La variance d'une différence

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Variance d'une somme

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires telles que $V (X) = 4$ , $V (Y) = 9$ et $Cov (X, Y) = - 2$ . Calculer $V (X + Y)$ , $V (X - Y)$ , $V (2 X + 3 Y)$ et $ρ (X, Y)$ , puis comparer $V (X + Y)$ et $V (X - Y)$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Une seule formule — la variance d'une somme — suffit à tout, à condition de traiter les coefficients par la linéarité de la covariance.

La somme. $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y) = 4 + 9 - 4 = 9$ .

La différence. On écrit $X - Y = X + (- Y)$ . Alors $V (- Y) = (- 1)^{2} V (Y) = 9$ et $Cov (X, - Y) = - Cov (X, Y) = 2$ , donc $V (X - Y) = 4 + 9 + 2 \times 2 = 17.$

La combinaison. $V (2 X) = 4 V (X) = 16$ , $V (3 Y) = 9 V (Y) = 81$ et $Cov (2 X, 3 Y) = 6 Cov (X, Y) = - 12$ , donc $V (2 X + 3 Y) = 16 + 81 - 24 = 73$ .

Le coefficient de corrélation. $σ (X) = 2$ et $σ (Y) = 3$ , non nuls, donc $ρ (X, Y) = \frac{- 2}{2 \times 3} = - \frac{1}{3} \approx - 0, 33$ , bien situé dans $[- 1, 1]$ .

La comparaison. $V (X - Y) = 17 > 9 = V (X + Y)$ : la différence est plus dispersée que la somme. La covariance étant négative, les deux variables varient plutôt en sens contraire : elles se compensent quand on les additionne, et leurs écarts opposés s'ajoutent quand on les soustrait.

Le point à retenir. Il n'y a pas de formule de la variance d'une différence à mémoriser : on écrit $X - Y = X + (- Y)$ , et l'on se rappelle que la covariance change de signe, pas la variance.

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