La variance d'une différence

Ce qu'on montre. Une seule formule — la variance d'une somme — suffit à tout, à condition de traiter les coefficients par la linéarité de la covariance.

La somme. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=4+9-4=9$.

La différence. On écrit $X-Y=X+(-Y)$. Alors $V(-Y)=(-1{)}^{2}V(Y)=9$ et $\mathrm{Cov}(X,-Y)=-\mathrm{Cov}(X,Y)=2$, donc $$V(X-Y)=4+9+2\times 2=17.$$

La combinaison. $V(2X)=4V(X)=16$, $V(3Y)=9V(Y)=81$ et $\mathrm{Cov}(2X,3Y)=6\mathrm{Cov}(X,Y)=-12$, donc $V(2X+3Y)=16+81-24=73$.

Le coefficient de corrélation. $\sigma (X)=2$ et $\sigma (Y)=3$, non nuls, donc $\rho (X,Y)=\frac{-2}{2\times 3}=-\frac{1}{3}\approx -0,33$, bien situé dans $[-1,1]$.

La comparaison. $V(X-Y)=17>9=V(X+Y)$ : la différence est plus dispersée que la somme. La covariance étant négative, les deux variables varient plutôt en sens contraire : elles se compensent quand on les additionne, et leurs écarts opposés s'ajoutent quand on les soustrait.

Le point à retenir. Il n'y a pas de formule de la variance d'une différence à mémoriser : on écrit $X-Y=X+(-Y)$, et l'on se rappelle que la covariance change de signe, pas la variance.