La variance d'une somme, par deux chemins

Les marges et leurs moments. $P(X=0)=0,50$ et $P(X=1)=0,50$, donc $E(X)=0,50$ et, comme $X^2=X$ ($X$ ne prend que $0$ et $1$), $V(X)=0,50-0,25=0,25$. De même $P(Y=0)=0,40$, $P(Y=1)=0,60$, donc $E(Y)=0,60$ et $V(Y)=0,60-0,36=0,24$.

La covariance. Le produit $XY$ ne vaut $1$ que sur la case $(1,1)$, donc $E(XY)=0,35$ et $$\mathrm{Cov}(X,Y)=0,35-0,50\times 0,60=0,05.$$

Premier chemin. $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=0,25+0,24+0,10=0,59.$$

Second chemin : la loi de $S$. $S$ vaut $0$ sur la case $(0,0)$, $1$ sur $(0,1)$ et $(1,0)$, et $2$ sur $(1,1)$ : $$P(S=0)=0,25,P(S=1)=0,25+0,15=0,40,P(S=2)=0,35.$$ Alors $E(S)=0,40+0,70=1,10$ et $E(S^2)=0,40+4\times 0,35=1,80$, donc $$V(S)=1,80-1,10^2=1,80-1,21=0,59.$$

Les deux coïncident. Au passage, $E(S)=1,10=E(X)+E(Y)$, comme le veut la linéarité de l'espérance — elle, sans aucune hypothèse.