Le cas d'égalité du coefficient de corrélation

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Covariance et coefficient de corrélation

Énoncé

Soient $X$ d'écart-type non nul, $a \neq = 0$ , $b$ réel et $Y = a X + b$ . Montrer que $ρ (X, Y) = 1$ si $a > 0$ et $- 1$ si $a < 0$ , puis vérifier sur $X$ de loi $P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2}$ et $Y = 3 X + 2$ .

Corrigé

La covariance. Par linéarité, et parce que la covariance avec une constante est nulle : $Cov (X, a X + b) = a Cov (X, X) + Cov (X, b) = a V (X)$ .

L'écart-type. $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , donc $σ (Y) = ∣ a ∣ σ (X)$ .

Le quotient. $ρ (X, Y) = \frac{a V ( X )}{σ ( X ) \times ∣ a ∣ σ ( X )} = \frac{a}{∣ a ∣}$ , qui vaut $+ 1$ si $a > 0$ et $- 1$ si $a < 0$ ; le résultat ne dépend ni de $b$ , ni de la loi de $X$ .

Vérification numérique. $E (X) = E (X^{2}) = \frac{1}{2}$ donnent $V (X) = \frac{1}{4}$ et $σ (X) = \frac{1}{2}$ . Ensuite $Y$ vaut $2$ ou $5$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ : $E (Y) = \frac{7}{2}$ et $E (Y^{2}) = \frac{29}{2}$ , donc $V (Y) = \frac{9}{4}$ et $σ (Y) = \frac{3}{2}$ . Enfin $E (X Y) = \frac{5}{2}$ , d'où $Cov (X, Y) = \frac{5}{2} - \frac{7}{4} = \frac{3}{4}$ et $ρ (X, Y) = \frac{3/4}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}} = 1$ .

Ce que cela signifie. $∣ ρ ∣ = 1$ caractérise exactement le cas où $Y$ est une fonction affine de $X$ ; entre $0$ et $1$ , $ρ$ mesure la distance à ce cas.

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