Le coefficient de corrélation ne dépend pas des unités

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Covariance et corrélation

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires d'écarts-types non nuls, et soient $a$ , $b$ , $c$ , $d$ des réels avec $a \neq = 0$ et $c \neq = 0$ . On pose $U = a X + b$ et $W = c Y + d$ . Démontrer que $ρ (U, W) = ρ (X, Y)$ si $a c > 0$ , et $ρ (U, W) = - ρ (X, Y)$ si $a c < 0$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'employer. La bilinéarité de la covariance, le fait que $Cov (Z, constante) = 0$ , et $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ .

Le numérateur. En développant à gauche puis à droite : $Cov (U, W) = Cov (a X + b, c Y + d) = a Cov (X, c Y + d) + Cov (b, c Y + d) = a c Cov (X, Y),$ les deux termes faisant intervenir une constante étant nuls.

Le dénominateur. $V (U) = a^{2} V (X)$ , donc $σ (U) = a^{2} V (X) = ∣ a ∣ σ (X),$ et c'est ici qu'est le point délicat : la racine d'un carré est la valeur absolue, pas le nombre lui-même. De même $σ (W) = ∣ c ∣ σ (Y)$ . Ces deux quantités sont non nulles, donc $ρ (U, W)$ est bien défini.

Le quotient. $ρ (U, W) = \frac{a c Cov ( X , Y )}{∣ a ∣ ∣ c ∣ σ ( X ) σ ( Y )} = \frac{a c}{∣ a c ∣} ρ (X, Y) .$

La conclusion. Le facteur $\frac{a c}{∣ a c ∣}$ vaut $+ 1$ si $a c > 0$ et $- 1$ si $a c < 0$ . D'où les deux cas annoncés.

Contrôle. Avec $a = c = 1$ et $b = d = 0$ , on retrouve $ρ (X, Y) = ρ (X, Y)$ . Avec $Y = X$ , $a = 1$ , $c = - 1$ , $b = d = 0$ : $ρ (X, - X) = - ρ (X, X) = - 1$ , ce qui est bien le cas d'égalité négatif.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.