Le mélange le moins risqué

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Variance d'une somme

Énoncé

Deux placements ont des rendements $X$ et $Y$ tels que $V (X) = 4$ , $V (Y) = 9$ et $Cov (X, Y) = - 2$ . Pour $t \in [0, 1]$ , on place une fraction $t$ du capital sur le premier et $1 - t$ sur le second, ce qui donne le rendement $Z_{t} = tX + (1 - t) Y$ . Exprimer $V (Z_{t})$ en fonction de $t$ , puis déterminer la valeur de $t$ qui minimise ce risque.

Corrigé

La variance d'une combinaison. Par bilinéarité et symétrie de la covariance, $V (Z_{t}) = Cov (Z_{t}, Z_{t}) = t^{2} V (X) + (1 - t)^{2} V (Y) + 2 t (1 - t) Cov (X, Y) .$

Le calcul. Avec les valeurs données : $V (Z_{t}) = 4 t^{2} + 9 (1 - t)^{2} - 4 t (1 - t) = 4 t^{2} + 9 - 18 t + 9 t^{2} - 4 t + 4 t^{2},$ soit $V (Z_{t}) = 17 t^{2} - 22 t + 9.$

Le minimum. C'est un trinôme de coefficient dominant $17 > 0$ : il atteint son minimum en $t^{*} = \frac{22}{2 \times 17} = \frac{11}{17} \approx 0, 647,$ valeur qui appartient bien à $[0, 1]$ . La variance minimale vaut alors $V (Z_{t^{*}}) = 17 \times \frac{121}{289} - \frac{242}{17} + 9 = \frac{121 - 242 + 153}{17} = \frac{32}{17} \approx 1, 88.$

Contrôles aux bords. $V (Z_{0}) = 9 = V (Y)$ et $V (Z_{1}) = 17 - 22 + 9 = 4 = V (X)$ : la formule redonne bien les deux placements purs.

Interprétation. Le mélange est moins risqué que chacun des deux placements pris seul ( $1, 88 < 4 < 9$ ). C'est la covariance négative qui le permet : quand l'un baisse, l'autre a tendance à monter, et les écarts se compensent.

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