Le plus petit et le plus grand de deux dés

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lois conjointes et lois marginales

Énoncé

On lance deux fois de suite un dé équilibré à trois faces numérotées $1$ , $2$ , $3$ , les deux lancers étant indépendants. On note $X$ le plus petit des deux résultats et $Y$ le plus grand. Déterminer la loi conjointe de $(X, Y)$ , puis les deux lois marginales. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Corrigé

L'univers. Les $9$ couples de résultats sont équiprobables, chacun de probabilité $\frac{1}{9}$ .

La loi conjointe. Le couple $(X, Y)$ vaut $(1, 1)$ pour le seul tirage $(1, 1)$ ; $(1, 2)$ pour $(1, 2)$ et $(2, 1)$ ; $(1, 3)$ pour $(1, 3)$ et $(3, 1)$ ; $(2, 2)$ pour $(2, 2)$ ; $(2, 3)$ pour $(2, 3)$ et $(3, 2)$ ; $(3, 3)$ pour $(3, 3)$ . D'où, en multiples de $\frac{1}{9}$ :

$X \ Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$1/9$	$2/9$	$2/9$
$2$	$0$	$1/9$	$2/9$
$3$	$0$	$0$	$1/9$

La somme des neuf cases vaut $\frac{9}{9} = 1$ : le tableau est cohérent.

Les marges. En sommant les lignes : $P (X = 1) = \frac{5}{9}$ , $P (X = 2) = \frac{3}{9}$ , $P (X = 3) = \frac{1}{9}$ . En sommant les colonnes : $P (Y = 1) = \frac{1}{9}$ , $P (Y = 2) = \frac{3}{9}$ , $P (Y = 3) = \frac{5}{9}$ .

L'indépendance est réfutée. Il suffit d'une case en défaut : $P (X = 3, Y = 1) = 0 alors que P (X = 3) P (Y = 1) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{81} \neq = 0.$ Les variables ne sont donc pas indépendantes — ce qui se comprend : le plus grand ne peut jamais être inférieur au plus petit.

Contrôle. $E (X) = \frac{5 + 6 + 3}{9} = \frac{14}{9}$ et $E (Y) = \frac{1 + 6 + 15}{9} = \frac{22}{9}$ ; leur somme vaut $4$ , ce qui est l'espérance de la somme des deux dés, puisque le plus petit plus le plus grand font toujours le total.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.