Lois conditionnelles

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lire et construire une loi conjointe

Énoncé

Un atelier surveille deux machines. $X$ compte les pièces défectueuses produites par la machine A en une heure ( $0$ , $1$ ou $2$ ), $Y$ celles de la machine B ( $0$ ou $1$ ). La loi conjointe est

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 30$	$0, 10$
$1$	$0, 15$	$0, 20$
$2$	$0, 05$	$0, 20$

Déterminer la loi de $Y$ sachant $[X = 1]$ , puis la loi de $X$ sachant $[Y = 1]$ .

Corrigé

Loi de $Y$ sachant $[X = 1]$ . La ligne $X = 1$ vaut $(0, 15; 0, 20)$ et pèse $0, 35$ , d'où $P_{[X = 1]} (Y = 0) = \frac{0 , 15}{0 , 35} = \frac{3}{7} \approx 0, 43$ et $P_{[X = 1]} (Y = 1) = \frac{0 , 20}{0 , 35} = \frac{4}{7} \approx 0, 57$ . Somme : $\frac{3}{7} + \frac{4}{7} = 1$ .

Loi de $X$ sachant $[Y = 1]$ . La colonne $Y = 1$ pèse $0, 50$ , d'où $P_{[Y = 1]} (X = 0) = 0, 20$ , $P_{[Y = 1]} (X = 1) = 0, 40$ , $P_{[Y = 1]} (X = 2) = 0, 40$ .

Interprétation. Sans information, $P (X = 2) = 0, 25$ ; sachant que la machine B a mal produit, cette probabilité monte à $0, 40$ : les deux machines ont un défaut commun.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.