Pourquoi le coefficient de corrélation est entre $-1$ et $1$

Ce qu'on emploie. La formule de la variance d'une somme, la définition $\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}$, et le fait qu'une variance est toujours positive ou nulle.

Ce que vaut la covariance. Les deux écarts-types valent $\sigma$, donc $$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }^2},\text{soit}\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }^2.$$

La première variance. $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)={\sigma }^2+{\sigma }^2+2\rho {\sigma }^2=2{\sigma }^2(1+\rho ).$$

La seconde. On écrit $X-Y=X+(-Y)$, avec $V(-Y)=(-1{)}^{2}V(Y)={\sigma }^2$ et $\mathrm{Cov}(X,-Y)=-\mathrm{Cov}(X,Y)=-\rho {\sigma }^2$ par linéarité. Donc $$V(X-Y)={\sigma }^2+{\sigma }^2-2\rho {\sigma }^2=2{\sigma }^2(1-\rho ).$$

L'encadrement. Une variance est positive ou nulle, et ${\sigma }^2>0$ : $$2{\sigma }^2(1+\rho )\ge 0⟹\rho \ge -1,2{\sigma }^2(1-\rho )\ge 0⟹\rho \le 1.$$ D'où $-1\le \rho \le 1$.

Les cas d'égalité, au passage. $\rho =1$ oblige $V(X-Y)=0$ : l'écart $X-Y$ ne varie pas, il est constant. Et $\rho =-1$ oblige $V(X+Y)=0$, donc $X+Y$ constante. On retrouve la relation affine annoncée par le cours.