Quatre variances à partir de deux

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Indépendance et variance

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $V (X) = 2$ et $V (Y) = 5$ . Calculer $V (X + Y)$ , $V (X - Y)$ , $V (3 X)$ et $V (X + 3)$ .

Corrigé

Ce que l'indépendance donne. Elle entraîne $Cov (X, Y) = 0$ , donc la formule $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ se simplifie.

La somme. $V (X + Y) = 2 + 5 = 7$ .

La différence. On écrit $X - Y = X + (- Y)$ , avec $V (- Y) = (- 1)^{2} V (Y) = 5$ et $Cov (X, - Y) = - Cov (X, Y) = 0$ . Donc $V (X - Y) = 2 + 5 = 7.$ C'est le point à retenir : sous indépendance, la variance d'une différence est la somme des variances, jamais leur différence.

Le multiple. $V (3 X) = 3^{2} V (X) = 9 \times 2 = 18$ . On n'écrit jamais $V (3 X) = 3 V (X)$ : la variance n'est pas linéaire.

La translation. $V (X + 3) = V (X) = 2$ : ajouter une constante décale la variable sans modifier sa dispersion.

Contrôle de cohérence. Les quatre résultats sont positifs, comme doit l'être toute variance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.