Reconstruire un tableau

Ce qu'on montre. Une loi conjointe se reconstruit à partir d'une marginale et des lois conditionnelles, par les probabilités composées.

La formule. $P([X=i]\cap [Y=j])=P(X=i)\times P_{[X=i]}(Y=j)$, valable ici pour les trois valeurs, toutes de probabilité non nulle.

Ligne par ligne. Pour $X=0$ : $P_{[X=0]}(Y=1)=0$, d'où $0,50$ et $0$. Pour $X=1$ : $P_{[X=1]}(Y=0)=0,2$, d'où $0,06$ et $0,24$. Pour $X=2$ : $0,10$ et $0,10$.

$X\backslash Y$	$0$	$1$
$0$	$0,50$	$0$
$1$	$0,06$	$0,24$
$2$	$0,10$	$0,10$

Contrôle. Les six cases totalisent $1$, et la somme de chaque ligne redonne la marginale de départ : $0,5$, $0,3$ et $0,2$.

La loi de $Y$. En sommant chaque colonne, $$P(Y=0)=0,50+0,06+0,10=0,66,P(Y=1)=0+0,24+0,10=0,34,$$ et le total fait $1$. En moyenne, l'atelier traite $E(Y)=0,34$ commande urgente le jour même.

Le point à retenir. Marginale de $X$ et lois conditionnelles de $Y$ sachant $X$ contiennent exactement la même information que le tableau conjoint : on passe des unes à l'autre par une multiplication, et dans l'autre sens par une division.