Reconstruire un tableau

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lire et construire une loi conjointe

Énoncé

Un atelier reçoit chaque matin $X$ commandes urgentes, avec $P (X = 0) = 0, 5$ , $P (X = 1) = 0, 3$ et $P (X = 2) = 0, 2$ . Le nombre $Y$ de commandes traitées le jour même vaut $0$ ou $1$ , et l'on sait que $P_{[X = 0]} (Y = 0) = 1$ , $P_{[X = 1]} (Y = 1) = 0, 8$ et $P_{[X = 2]} (Y = 1) = 0, 5$ . Écrire la loi conjointe du couple $(X, Y)$ , puis la loi de $Y$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Une loi conjointe se reconstruit à partir d'une marginale et des lois conditionnelles, par les probabilités composées.

La formule. $P ([X = i] \cap [Y = j]) = P (X = i) \times P_{[X = i]} (Y = j)$ , valable ici pour les trois valeurs, toutes de probabilité non nulle.

Ligne par ligne. Pour $X = 0$ : $P_{[X = 0]} (Y = 1) = 0$ , d'où $0, 50$ et $0$ . Pour $X = 1$ : $P_{[X = 1]} (Y = 0) = 0, 2$ , d'où $0, 06$ et $0, 24$ . Pour $X = 2$ : $0, 10$ et $0, 10$ .

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 50$	$0$
$1$	$0, 06$	$0, 24$
$2$	$0, 10$	$0, 10$

Contrôle. Les six cases totalisent $1$ , et la somme de chaque ligne redonne la marginale de départ : $0, 5$ , $0, 3$ et $0, 2$ .

La loi de $Y$ . En sommant chaque colonne, $P (Y = 0) = 0, 50 + 0, 06 + 0, 10 = 0, 66, P (Y = 1) = 0 + 0, 24 + 0, 10 = 0, 34,$ et le total fait $1$ . En moyenne, l'atelier traite $E (Y) = 0, 34$ commande urgente le jour même.

Le point à retenir. Marginale de $X$ et lois conditionnelles de $Y$ sachant $X$ contiennent exactement la même information que le tableau conjoint : on passe des unes à l'autre par une multiplication, et dans l'autre sens par une division.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.