Réfuter en une seule case

Les marges. En sommant les lignes : $P(X=0)=0,40$ et $P(X=1)=0,60$. En sommant les colonnes : $P(Y=0)=0,50$ et $P(Y=1)=0,50$.

La réfutation. Il suffit d'une case : $$P(X=0)P(Y=0)=0,40\times 0,50=0,20,P([X=0]\cap [Y=0])=0,30.$$ Les deux nombres diffèrent, donc $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

La loi conditionnelle. Par définition, pour $P(Y=1)=0,50\ne 0$ : $$P_{[Y=1]}(X=0)=\frac{P([X=0]\cap [Y=1])}{P(Y=1)}=\frac{0,10}{0,50}=0,20,$$ $$P_{[Y=1]}(X=1)=\frac{0,40}{0,50}=0,80.$$ Les deux valeurs somment à $1$ : c'est bien une loi de probabilité.

La comparaison. La loi de $X$ donne $0,40$ et $0,60$ ; sachant $[Y=1]$, elle devient $0,20$ et $0,80$. Savoir que $Y$ vaut $1$ change la loi de $X$ — c'est exactement ce que signifie la dépendance, et c'est une seconde façon de la réfuter.

Ce qu'il faut retenir. Pour réfuter l'indépendance, une case suffit ; pour l'établir, il faudrait vérifier les quatre.