Un tableau qui est un produit

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Indépendance et variance

Énoncé

Le couple $(X, Y)$ a pour loi conjointe :

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 24$	$0, 36$
$1$	$0, 16$	$0, 24$

Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes, puis en déduire $Cov (X, Y)$ .

Corrigé

Les marges. En sommant les lignes : $P (X = 0) = 0, 24 + 0, 36 = 0, 60$ et $P (X = 1) = 0, 16 + 0, 24 = 0, 40$ . En sommant les colonnes : $P (Y = 0) = 0, 24 + 0, 16 = 0, 40$ et $P (Y = 1) = 0, 36 + 0, 24 = 0, 60$ .

La vérification, case par case. Prouver l'indépendance exige de vérifier les quatre égalités, et non une seule : $0, 60 \times 0, 40 = 0, 24 ✓, 0, 60 \times 0, 60 = 0, 36 ✓,$ $0, 40 \times 0, 40 = 0, 16 ✓, 0, 40 \times 0, 60 = 0, 24 ✓ .$ Chaque case est le produit de sa marge de ligne par sa marge de colonne : $X$ et $Y$ sont indépendantes.

La covariance. Deux variables indépendantes ont une covariance nulle, donc $Cov (X, Y) = 0$ .

Contrôle par le calcul. $E (X) = 0, 40$ , $E (Y) = 0, 60$ et $E (X Y) = 1 \times 0, 24 = 0, 24 = 0, 40 \times 0, 60$ . La formule de Kœnig-Huygens donne bien $0$ .

Le sens unique. L'implication ne se retourne pas : une covariance nulle n'entraîne pas l'indépendance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.