Une case manquante dans un tableau

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lois conjointes et lois marginales

Énoncé

Le couple $(X, Y)$ a pour loi conjointe le tableau suivant, où $a$ est un réel.

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 15$	$0, 10$
$1$	$0, 20$	$a$
$2$	$0, 12$	$0, 18$

Déterminer $a$ , puis les lois marginales de $X$ et de $Y$ , et calculer $E (X)$ .

Corrigé

La règle employée. Les six probabilités d'un tableau de loi conjointe sont positives et somment à $1$ : les six cases décrivent tous les cas possibles, et ils s'excluent deux à deux.

Détermination de $a$ . La somme des cinq cases connues vaut $0, 15 + 0, 10 + 0, 20 + 0, 12 + 0, 18 = 0, 75,$ donc $a = 1 - 0, 75 = 0, 25$ . Cette valeur est bien positive : le tableau est cohérent.

La loi marginale de $X$ . On somme chaque ligne : $P (X = 0) = 0, 15 + 0, 10 = 0, 25, P (X = 1) = 0, 20 + 0, 25 = 0, 45, P (X = 2) = 0, 12 + 0, 18 = 0, 30.$ Leur somme vaut $1$ : premier contrôle.

La loi marginale de $Y$ . On somme chaque colonne : $P (Y = 0) = 0, 15 + 0, 20 + 0, 12 = 0, 47, P (Y = 1) = 0, 10 + 0, 25 + 0, 18 = 0, 53.$ Leur somme vaut $1$ : second contrôle.

L'espérance. Elle se calcule sur la loi marginale de $X$ : $E (X) = 0 \times 0, 25 + 1 \times 0, 45 + 2 \times 0, 30 = 1, 05.$

Contrôle de bon sens. $X$ prend ses valeurs entre $0$ et $2$ : son espérance doit être dans cet intervalle, et $1, 05$ y est.

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