Une covariance faible mais non nulle

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Covariance et corrélation

Énoncé

Le couple $(X, Y)$ a pour loi conjointe :

$X \ Y$	$1$	$2$	$3$
$0$	$0, 10$	$0, 15$	$0, 05$
$1$	$0, 20$	$0, 30$	$0, 20$

Calculer $E (X)$ , $E (Y)$ , $E (X Y)$ puis $Cov (X, Y)$ . Interpréter le signe obtenu.

Corrigé

Les marges. En sommant les lignes : $P (X = 0) = 0, 30$ et $P (X = 1) = 0, 70$ . En sommant les colonnes : $P (Y = 1) = 0, 30$ , $P (Y = 2) = 0, 45$ , $P (Y = 3) = 0, 25$ . Les deux listes somment à $1$ .

Les deux espérances. $E (X) = 0 \times 0, 30 + 1 \times 0, 70 = 0, 70,$ $E (Y) = 1 \times 0, 30 + 2 \times 0, 45 + 3 \times 0, 25 = 0, 30 + 0, 90 + 0, 75 = 1, 95.$

L'espérance du produit. On somme $x y P (X = x, Y = y)$ sur les six cases. Les trois cases de la ligne $X = 0$ ne contribuent pas, le produit y étant nul. Reste la ligne $X = 1$ : $E (X Y) = 1 \cdot 1 \cdot 0, 20 + 1 \cdot 2 \cdot 0, 30 + 1 \cdot 3 \cdot 0, 20 = 0, 20 + 0, 60 + 0, 60 = 1, 40.$

La covariance, par Kœnig-Huygens. $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 1, 40 - 0, 70 \times 1, 95 = 1, 40 - 1, 365 = 0, 035.$

Interprétation. La covariance est positive : $X$ et $Y$ ont tendance à varier dans le même sens. Elle est toutefois très petite — et un tel nombre ne se commente pas seul, puisqu'il dépend des unités. Le coefficient de corrélation, qui vaut ici environ $0, 10$ , dit mieux la faiblesse du lien.

Contrôle. Elle n'est pas nulle, donc $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes — et de fait $P (X = 0, Y = 1) = 0, 10$ diffère de $0, 30 \times 0, 30 = 0, 09$ .

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