Une covariance par la formule de Kœnig-Huygens

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Espérance et covariance

Énoncé

Le couple $(X, Y)$ a pour loi conjointe :

$X \ Y$	$0$	$1$
$0$	$0, 40$	$0, 10$
$1$	$0, 20$	$0, 30$

Calculer $Cov (X, Y)$ et interpréter son signe.

Corrigé

La formule employée. On utilise Kœnig-Huygens, $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ , et jamais la définition : trois espérances et une soustraction suffisent.

Les marges. $P (X = 0) = 0, 50$ et $P (X = 1) = 0, 50$ , donc $E (X) = 0, 50$ . $P (Y = 0) = 0, 60$ et $P (Y = 1) = 0, 40$ , donc $E (Y) = 0, 40$ .

L'espérance du produit. Le produit $X Y$ ne vaut $1$ que sur la case $(1, 1)$ , et $0$ partout ailleurs. Donc $E (X Y) = 1 \times 0, 30 = 0, 30.$

La covariance. $Cov (X, Y) = 0, 30 - 0, 50 \times 0, 40 = 0, 30 - 0, 20 = 0, 10.$

Interprétation. Elle est positive : $X$ et $Y$ varient plutôt dans le même sens. Le tableau le confirme, les cases $(0, 0)$ et $(1, 1)$ pesant à elles deux $0, 70$ .

Conséquence. Une covariance non nulle interdit l'indépendance : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

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