Une covariance par la formule de Kœnig-Huygens

La formule employée. On utilise Kœnig-Huygens, $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$, et jamais la définition : trois espérances et une soustraction suffisent.

Les marges. $P(X=0)=0,50$ et $P(X=1)=0,50$, donc $E(X)=0,50$. $P(Y=0)=0,60$ et $P(Y=1)=0,40$, donc $E(Y)=0,40$.

L'espérance du produit. Le produit $XY$ ne vaut $1$ que sur la case $(1,1)$, et $0$ partout ailleurs. Donc $$E(XY)=1\times 0,30=0,30.$$

La covariance. $$\mathrm{Cov}(X,Y)=0,30-0,50\times 0,40=0,30-0,20=0,10.$$

Interprétation. Elle est positive : $X$ et $Y$ varient plutôt dans le même sens. Le tableau le confirme, les cases $(0,0)$ et $(1,1)$ pesant à elles deux $0,70$.

Conséquence. Une covariance non nulle interdit l'indépendance : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.