Une loi conjointe donnée par une formule

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Lois conjointes et lois marginales

Énoncé

Soit $c$ un réel. Le couple $(X, Y)$ prend ses valeurs dans ${1, 2} \times {1, 2, 3}$ et vérifie $P ([X = i] \cap [Y = j]) = c (i + j)$ . Déterminer $c$ , écrire le tableau de la loi conjointe, donner les deux lois marginales, puis dire si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Corrigé

La condition de somme. Les six probabilités somment à $1$ : $c [(1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3) + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3)] = c (2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5) = 21 c = 1,$ donc $c = \frac{1}{21}$ . Toutes les cases sont alors positives.

Le tableau, en vingt-et-unièmes :

$X \ Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$2/21$	$3/21$	$4/21$
$2$	$3/21$	$4/21$	$5/21$

Les marges. En sommant les lignes : $P (X = 1) = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}, P (X = 2) = \frac{12}{21} = \frac{4}{7} .$ En sommant les colonnes : $P (Y = 1) = \frac{5}{21}, P (Y = 2) = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}, P (Y = 3) = \frac{9}{21} = \frac{3}{7} .$ Chacune des deux listes somme à $1$ .

L'indépendance. Testons la case $(1, 1)$ : $P (X = 1) P (Y = 1) = \frac{3}{7} \times \frac{5}{21} = \frac{15}{147}, P (X = 1, Y = 1) = \frac{2}{21} = \frac{14}{147} .$ Les deux nombres diffèrent : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Le point délicat. Une seule case en défaut suffit à réfuter l'indépendance, alors que la démontrer exigerait de vérifier les six égalités. Réfuter et prouver ne demandent pas le même travail.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.