Une seule égalité suffit

Ce qu'on montre. L'indépendance de deux variables à deux valeurs tient à une seule équation : les trois autres s'en déduisent par soustraction.

1. Les marginales. Les quatre probabilités totalisent $1$, donc $a+b=0,50$. En sommant les colonnes, $P(Y=0)=0,50$ et $P(Y=1)=0,50$ ; en sommant les lignes, $P(X=0)=0,20+a$.

L'équation. $P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$ s'écrit $0,20=(0,20+a)\times 0,50$, d'où $0,20+a=0,40$, soit $a=0,20$ et $b=0,30$.

Vérification des trois autres cases. Alors $P(X=0)=0,40$ et $P(X=1)=0,60$, et l'on a bien $0,40\times 0,50=0,20=a$, $0,60\times 0,50=0,30$ pour les deux dernières cases. Les quatre égalités sont satisfaites.

2. Pourquoi une seule suffit. Supposons seulement $P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)$. Comme $Y$ ne prend que deux valeurs, la ligne $X=0$ se somme en $P(X=0)$, donc $$P(X=0,Y=1)=P(X=0)-P(X=0)P(Y=0)=P(X=0)(1-P(Y=0))=P(X=0)P(Y=1).$$ Le même raisonnement sur la colonne $Y=0$, qui se somme en $P(Y=0)$, donne $P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)$ ; la quatrième s'obtient alors en sommant la ligne $X=1$.

Le point à retenir. Ce raccourci ne vaut que pour un tableau $2\times 2$. Avec trois valeurs ou plus, il faut vérifier toutes les cases — ou en trouver une seule qui échoue, ce qui suffit à conclure au contraire.