Variance d'une somme, avec et sans indépendance

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 4 — Couples de variables aléatoires discrètes finies · Variance d'une somme

Énoncé

Voici deux lois conjointes, où $X$ prend les valeurs $0$ et $1$ , et $Y$ les valeurs $1$ et $2$ .

$T_{1}$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$0, 12$	$0, 28$
$X = 1$	$0, 18$	$0, 42$

$T_{2}$	$Y = 1$	$Y = 2$
$X = 0$	$0, 20$	$0, 20$
$X = 1$	$0, 10$	$0, 50$

Pour $T_{1}$ puis pour $T_{2}$ , calculer $V (X)$ , $V (Y)$ , puis $V (X + Y)$ , et commenter.

Corrigé

Les marges, donc $V (X)$ et $V (Y)$ , sont les mêmes des deux côtés. $E (X) = 0, 60$ et $E (X^{2}) = 0, 60$ donnent $V (X) = 0, 24$ ; $E (Y) = 1, 70$ et $E (Y^{2}) = 0, 30 + 4 \times 0, 70 = 3, 10$ donnent $V (Y) = 3, 10 - 2, 89 = 0, 21$ .

Cas $T_{1}$ (indépendantes). La covariance est nulle, donc $V (X + Y) = 0, 24 + 0, 21 = 0, 45$ .

Cas $T_{2}$ . $E (X Y) = 1 \times 0, 10 + 2 \times 0, 50 = 1, 10$ et $E (X) E (Y) = 1, 02$ , d'où $Cov (X, Y) = 0, 08$ et $V (X + Y) = 0, 24 + 0, 21 + 0, 16 = 0, 61$ .

Contrôle par la loi de $S = X + Y$ dans le cas $T_{2}$ . $P (S = 1) = 0, 20$ , $P (S = 2) = 0, 30$ , $P (S = 3) = 0, 50$ , de somme $1$ ; alors $E (S) = 0, 20 + 0, 60 + 1, 50 = 2, 30$ et $E (S^{2}) = 0, 20 + 1, 20 + 4, 50 = 5, 90$ , donc $V (S) = 5, 90 - 5, 29 = 0, 61$ .

Commentaire. Mêmes marges, même $E (S) = 2, 30$ , et pourtant $0, 45$ contre $0, 61$ : le lien ne se voit pas sur l'espérance, il se voit sur la dispersion.

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