Changer de période, changer de paramètre

Sur une heure. $$P(X=0)={\mathrm{e}}^{-4}\frac{4^0}{0!}={\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,0183,$$ puis, par le complémentaire, $$P(X\ge 1)=1-{\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,982.$$ Autrement dit, il est presque certain qu'au moins une commande arrive dans l'heure.

Le changement de période. Le paramètre $\lambda$ est le nombre moyen d'occurrences sur la période considérée : il est donc proportionnel à la durée. Sur une demi-heure, le nombre moyen de commandes est $\frac{4}{2}=2$, donc le paramètre vaut ${\lambda }^{\prime }=2$.

La probabilité sur la demi-heure. En notant $X^{\prime }$ le nombre de commandes de cette demi-heure, $$P(X^{\prime }=0)={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135.$$

Contrôle. Une heure est la réunion de deux demi-heures indépendantes, et ${\mathrm{e}}^{-2}\times {\mathrm{e}}^{-2}={\mathrm{e}}^{-4}$ : n'avoir aucune commande dans l'heure, c'est n'en avoir aucune dans chacune des deux demi-heures. Les deux calculs concordent.

Le piège. Diviser la probabilité par deux au lieu du paramètre : $0,0183/2=0,009$ n'a rien à voir avec $0,135$.