Choisir le paramètre pour être presque sûr

La probabilité d'au moins un incident. On passe par le complémentaire : $$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^0}{0!}=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda },$$ puisque ${\lambda }^0=1$ et $0!=1$.

L'inéquation. On veut $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda }\ge 0,99$, c'est-à-dire $${\mathrm{e}}^{-\lambda }\le 0,01.$$

La résolution. La fonction logarithme étant croissante sur $]0,+\infty [$, l'inégalité équivaut à $-\lambda \le \ln (0,01)$, c'est-à-dire $$\lambda \ge -\ln (0,01)=\ln (100)\approx 4,605.$$

Conclusion. La plus petite valeur convenable est $\lambda =\ln 100\approx 4,61$ : il faut compter en moyenne au moins $4,61$ incidents sur la période pour être sûr à $99\%$ d'en observer au moins un.

Contrôles. Pour $\lambda =4,61$ : ${\mathrm{e}}^{-4,61}\approx 0,00995\le 0,01$, l'inégalité est vérifiée. Pour $\lambda =4$ : ${\mathrm{e}}^{-4}\approx 0,0183>0,01$, elle ne l'est pas.

Interprétation. Comme $\lambda$ est proportionnel à la durée d'observation, cela revient à dire qu'il faut observer assez longtemps — et que le seuil monte très vite si l'on exige $99,9\%$, où il faudrait $\ln 1000\approx 6,91$.