Combien de tests avant un défaut ?

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · La loi géométrique, loi du premier succès

Énoncé

Une chaîne produit $5 %$ de pièces défectueuses. Un contrôleur teste les pièces une à une, de façon indépendante, et note $X$ le rang de la première pièce défectueuse. Calculer $E (X)$ , $σ (X)$ et $P (X \leq 20)$ , puis commenter.

Corrigé

La loi. $X ↪ G (0, 05)$ .

Moments. $E (X) = \frac{1}{0 , 05} = 20$ et $V (X) = \frac{0 , 95}{0 , 0 5 ^{2}} = \frac{0 , 95}{0 , 0025} = 380$ , donc $σ (X) = 380 \approx 19, 49$ .

Probabilité de réussir en vingt tests. $P (X \leq 20) = 1 - 0, 9 5^{20} = 1 - 0, 358486 \approx 0, 6415$ .

Le commentaire qui compte. On teste $20$ pièces en moyenne, mais on n'a que $64 %$ de chances d'avoir trouvé un défaut au bout de $20$ tests. L'espérance n'est pas une garantie : ici l'écart-type est presque égal à la moyenne, et la loi est très étalée vers la droite.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.