D'une loi de Poisson à une loi géométrique

Ce qu'est un « succès ». Pour une minute donnée, appelons succès l'événement « au moins un appel ». En notant $N$ le nombre d'appels de cette minute, $$p=P(N\ge 1)=1-P(N=0)=1-{\mathrm{e}}^{-1,2}\approx 1-0,3012=0,6988.$$ Ce nombre est bien dans $]0,1[$ : la loi géométrique aura un sens.

La reconnaissance. Les trois conditions sont réunies : une même épreuve répétée (une minute d'observation), des répétitions indépendantes (les minutes le sont par hypothèse), et $T$ compte le rang du premier succès. Donc $T$ suit la loi géométrique de paramètre $p=1-{\mathrm{e}}^{-1,2}$, avec $T(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast }$ et $$P(T=k)=(1-p{)}^{k-1}p={\mathrm{e}}^{-1,2(k-1)}\left(1-{\mathrm{e}}^{-1,2}\right).$$

L'espérance. $$E(T)=\frac{1}{p}=\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-1,2}}\approx \frac{1}{0,6988}\approx 1,43\text{minute}.$$

Contrôles. $P(T=1)=p\approx 0,699$, et c'est bien la probabilité qu'un appel arrive dès la première minute. $P(T>2)=(1-p{)}^2={\mathrm{e}}^{-2,4}\approx 0,091$ : deux minutes de silence complet sont peu probables.

Interprétation. L'attente moyenne est d'environ une minute et vingt-six secondes. Le point remarquable est que deux lois du programme se sont enchaînées : Poisson décrit ce qui se passe dans une minute, la loi géométrique compte les minutes.