De la queue à la loi

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Une loi définie par une série

Énoncé

Une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $N^{*}$ vérifie $P (X \geq n) = (0, 8)^{n - 1}$ pour tout entier $n \geq 1$ . Déterminer $P (X = n)$ , reconnaître la loi de $X$ , puis donner $E (X)$ , $V (X)$ et $P (X \leq 10)$ .

Corrigé

Le principe. Les événements $[X \geq n]$ et $[X \geq n + 1]$ sont emboîtés, le second étant inclus dans le premier, et leur différence est exactement $[X = n]$ . Donc $P (X = n) = P (X \geq n) - P (X \geq n + 1) .$

Le calcul. $P (X = n) = (0, 8)^{n - 1} - (0, 8)^{n} = (0, 8)^{n - 1} (1 - 0, 8) = 0, 2 \times (0, 8)^{n - 1} .$

La reconnaissance. C'est exactement la forme $p (1 - p)^{n - 1}$ avec $p = 0, 2$ , sur $X (Ω) = N^{*}$ : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0, 2$ , autrement dit la loi du rang du premier succès dans une répétition d'épreuves indépendantes de probabilité de succès $0, 2$ .

Espérance et variance. Les formules du cours donnent $E (X) = \frac{1}{0 , 2} = 5, V (X) = \frac{1 - 0 , 2}{0 , 2 ^{2}} = \frac{0 , 8}{0 , 04} = 20.$

La probabilité demandée. Par passage au complémentaire, $P (X \leq 10) = 1 - P (X \geq 11) = 1 - (0, 8)^{10} \approx 1 - 0, 1074 = 0, 8926.$

Contrôle. $P (X \geq 1) = (0, 8)^{0} = 1$ , ce qui est obligatoire puisque $X$ est à valeurs dans $N^{*}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.