Des pannes rares

Ce qu'on montre. Les calculs de la loi de Poisson passent presque tous par le complémentaire, et le paramètre suit la durée d'observation.

Les premières probabilités. Avec $P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$ et $\lambda =0,5$ : $P(X=0)={\mathrm{e}}^{-0,5}\approx 0,6065$ et $P(X=1)=0,5{\mathrm{e}}^{-0,5}\approx 0,3033$.

Au moins deux pannes. L'événement contraire est la réunion disjointe $[X=0]\cup [X=1]$, donc $$P(X\ge 2)=1-1,5{\mathrm{e}}^{-0,5}\approx 0,0902,$$ soit environ une journée sur onze.

La semaine. Le paramètre est le nombre moyen d'occurrences sur la période : il se multiplie donc par la durée. Sur $6$ jours ouvrés, le nombre $W$ de pannes suit $\mathcal{P}(3)$ et $P(W=0)={\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,0498$.

La probabilité conditionnelle. $$P_{[X\ge 1]}(X=1)=\frac{P(X=1)}{1-P(X=0)}\approx \frac{0,3033}{0,3935}\approx 0,771.$$ Sachant qu'il y a eu au moins une panne, il y en a eu exactement une dans près de $77\%$ des cas : les pannes multiples restent rares.

Le point à retenir. Deux réflexes : « au moins » se calcule par le complémentaire, et changer de période change le paramètre proportionnellement, jamais la nature de la loi.