Des pannes rares

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · La loi de Poisson

Énoncé

Le nombre $X$ de pannes d'une machine au cours d'une journée suit la loi de Poisson de paramètre $λ = 0, 5$ . Calculer $P (X = 0)$ et $P (X \geq 2)$ , puis la probabilité qu'il n'y ait aucune panne sur une semaine de $6$ jours ouvrés. Calculer enfin $P_{[X \geq 1]} (X = 1)$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Les calculs de la loi de Poisson passent presque tous par le complémentaire, et le paramètre suit la durée d'observation.

Les premières probabilités. Avec $P (X = k) = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$ et $λ = 0, 5$ : $P (X = 0) = e^{- 0, 5} \approx 0, 6065$ et $P (X = 1) = 0, 5 e^{- 0, 5} \approx 0, 3033$ .

Au moins deux pannes. L'événement contraire est la réunion disjointe $[X = 0] \cup [X = 1]$ , donc $P (X \geq 2) = 1 - 1, 5 e^{- 0, 5} \approx 0, 0902,$ soit environ une journée sur onze.

La semaine. Le paramètre est le nombre moyen d'occurrences sur la période : il se multiplie donc par la durée. Sur $6$ jours ouvrés, le nombre $W$ de pannes suit $P (3)$ et $P (W = 0) = e^{- 3} \approx 0, 0498$ .

La probabilité conditionnelle. $P_{[X \geq 1]} (X = 1) = \frac{P ( X = 1 )}{1 - P ( X = 0 )} \approx \frac{0 , 3033}{0 , 3935} \approx 0, 771.$ Sachant qu'il y a eu au moins une panne, il y en a eu exactement une dans près de $77 %$ des cas : les pannes multiples restent rares.

Le point à retenir. Deux réflexes : « au moins » se calcule par le complémentaire, et changer de période change le paramètre proportionnellement, jamais la nature de la loi.

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