Déterminer la constante, puis la fonction de répartition

La condition de somme. Les probabilités d'une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ doivent être positives et sommer à $1$. Ici la somme est une série géométrique de raison $0,4$, de valeur absolue strictement inférieure à $1$ : elle converge, et $$\sum _{k=0}^{+\infty }c(0,4{)}^k=\frac{c}{1-0,4}=\frac{c}{0,6}=1,$$ d'où $c=0,6$. Cette valeur est positive, donc toutes les probabilités le sont : la loi est bien définie.

La queue. On factorise le premier terme, d'exposant $3$ : $$P(X\ge 3)=\sum _{k=3}^{+\infty }0,6\times (0,4{)}^k=0,6\times (0,4{)}^3\times \frac{1}{1-0,4}=(0,4{)}^3=0,064.$$

La fonction de répartition. Elle vaut $0$ pour $x<0$, et pour tout entier $n\ge 0$ on passe par le complémentaire, plus court : $$F(n)=P(X\le n)=1-P(X\ge n+1)=1-(0,4{)}^{n+1},$$ le même calcul que ci-dessus donnant $P(X\ge n+1)=(0,4{)}^{n+1}$.

Contrôles. $F(0)=1-0,4=0,6=P(X=0)$. $F(2)=1-0,064=0,936$, ce qui est bien $1-P(X\ge 3)$. Enfin $F(n)\to 1$ quand $n$ grandit, comme le veut toute fonction de répartition.