Deux périodes indépendantes

Espérance et variance. L'espérance est linéaire sans aucune hypothèse : $$E(S)=E(X)+E(Y)=2+3=5.$$ Pour la variance, l'indépendance entraîne $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$, donc $$V(S)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=2+3=5.$$

La probabilité d'aucun visiteur. L'événement $[S=0]$ équivaut à $[X=0]\cap [Y=0]$, les deux variables étant positives. Par indépendance, $$P(S=0)=P(X=0)P(Y=0)={\mathrm{e}}^{-2}\times {\mathrm{e}}^{-3}={\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,0067.$$

La probabilité d'un seul visiteur. L'événement $[S=1]$ se décompose en deux cas incompatibles : le visiteur vient le matin, ou l'après-midi. Donc $$P(S=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)={\mathrm{e}}^{-2}\left(3{\mathrm{e}}^{-3}\right)+\left(2{\mathrm{e}}^{-2}\right){\mathrm{e}}^{-3}=5{\mathrm{e}}^{-5}.$$ Numériquement, $5{\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,0337$.

La conjecture. On a obtenu $P(S=0)={\mathrm{e}}^{-5}$ et $P(S=1)=5{\mathrm{e}}^{-5}={\mathrm{e}}^{-5}\frac{5^1}{1!}$ : ce sont exactement les deux premières probabilités d'une loi de Poisson de paramètre $5$. On conjecture donc $S\hookrightarrow \mathcal{P}(5)$.

Ce qui appuie la conjecture. L'espérance et la variance de $S$ valent toutes deux $5$, ce qui est la signature de la loi de Poisson de paramètre $5$. La vérification complète, pour tout $k$, dépasse le programme — mais les indices concordent.