Dimensionner un contrôle

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · La loi géométrique, loi du premier succès

Énoncé

Dans un contrôle qualité, une pièce est défectueuse avec la probabilité $p = 0, 05$ , indépendamment des autres. Combien de pièces faut-il tester pour avoir au moins $90 %$ de chances de trouver une pièce défectueuse ?

Corrigé

Mise en inéquation. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P (X \leq n) \geq 0, 90$ , c'est-à-dire $1 - 0, 9 5^{n} \geq 0, 90$ , soit $0, 9 5^{n} \leq 0, 10$ .

Résolution. En passant au logarithme, et parce que $ln (0, 95) < 0$ change le sens de l'inégalité :

$n ln (0, 95) \leq ln (0, 10) ⟺ n \geq \frac{ln ( 0 , 10 )}{ln ( 0 , 95 )} \approx 44, 89.$

Le plus petit entier convenable est donc $n = 45$ .

Vérification. $0, 9 5^{44} \approx 0, 10467$ donne $P (X \leq 44) \approx 0, 8953 < 0, 90$ , tandis que $0, 9 5^{45} \approx 0, 09944$ donne $P (X \leq 45) \approx 0, 9006 \geq 0, 90$ . C'est bien $45$ .

À retenir. $45$ tests pour $90 %$ de certitude, alors que la moyenne n'est que de $20$ : voilà l'écart entre « en moyenne » et « presque sûrement ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.