Espérance, variance et une probabilité

Les formules du cours. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ : $$E(X)=\frac{1}{p},V(X)=\frac{1-p}{p^2}.$$ Ces deux résultats sont admis.

L'espérance. $E(X)=\frac{1}{0,25}=4$ : il faut en moyenne quatre épreuves pour obtenir le premier succès, ce qui est cohérent avec une chance sur quatre à chaque fois.

La variance. $$V(X)=\frac{1-0,25}{0,25^2}=\frac{0,75}{0,0625}=12,$$ donc $\sigma (X)=\sqrt{12}\approx 3,46$.

La probabilité demandée. $$P(X=2)=(1-p{)}^{2-1}p=0,75\times 0,25=0,1875.$$

Contrôle de cohérence. $P(X=1)=0,25$ est la plus grande valeur de la loi, et les probabilités décroissent ensuite : $0,25$, $0,1875$, $0,1406$… La suite $P(X=k)$ est géométrique de raison $0,75$, donc strictement décroissante — le rang $1$ est toujours le plus probable.