Espérance, variance et une probabilité

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Calculs sur la loi géométrique

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p = 0, 25$ . Calculer $E (X)$ , $V (X)$ , $σ (X)$ et $P (X = 2)$ .

Corrigé

Les formules du cours. Pour $X ↪ G (p)$ : $E (X) = \frac{1}{p}, V (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} .$ Ces deux résultats sont admis.

L'espérance. $E (X) = \frac{1}{0 , 25} = 4$ : il faut en moyenne quatre épreuves pour obtenir le premier succès, ce qui est cohérent avec une chance sur quatre à chaque fois.

La variance. $V (X) = \frac{1 - 0 , 25}{0 , 2 5 ^{2}} = \frac{0 , 75}{0 , 0625} = 12,$ donc $σ (X) = 12 \approx 3, 46$ .

La probabilité demandée. $P (X = 2) = (1 - p)^{2 - 1} p = 0, 75 \times 0, 25 = 0, 1875.$

Contrôle de cohérence. $P (X = 1) = 0, 25$ est la plus grande valeur de la loi, et les probabilités décroissent ensuite : $0, 25$ , $0, 1875$ , $0, 1406$ … La suite $P (X = k)$ est géométrique de raison $0, 75$ , donc strictement décroissante — le rang $1$ est toujours le plus probable.

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