Est-ce une loi de probabilité ?

Variables aléatoires discrètes infinies · Une série qui définit une loi · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $c$ un réel. On voudrait définir une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $N$ par $P (X = k) = c (\frac{2}{3})^{k}$ . Déterminer $c$ , puis calculer $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ et $P (X \geq 2)$ .

Corrigé

La constante. La somme des probabilités doit valoir $1$ :

$k \geq 0 \sum c (\frac{2}{3})^{k} = c \times \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3 c = 1, donc c = \frac{1}{3} .$

La série géométrique converge bien, car $\frac{2}{3} < 1$ .

Les premières valeurs. $P (X = 0) = \frac{1}{3}$ et $P (X = 1) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ .

La queue. Par passage au complémentaire : $P (X \geq 2) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ .

Contrôle direct. $\sum_{k \geq 2} \frac{1}{3} (\frac{2}{3})^{k} = \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{4}{9}$ . Les deux chemins concordent.

Énoncé

Corrigé

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