Jusqu'au premier pile

Variables aléatoires discrètes infinies · Reconnaître la loi du premier succès · niveau 1 (application)

Énoncé

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile, les lancers étant indépendants. On note $X$ le rang du lancer qui donne ce premier pile. Donner la loi de $X$ , puis calculer $P (X = 3)$ , $P (X \leq 3)$ , $E (X)$ et $V (X)$ .

Corrigé

La reconnaissance. Une même épreuve répétée, des répétitions indépendantes, et $X$ qui compte le rang du premier succès : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = \frac{1}{2}$ , avec $X (Ω) = N^{*}$ et $P (X = k) = (\frac{1}{2})^{k - 1} \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{k} .$

La valeur en $3$ . $P (X = 3) = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8} = 0, 125$ : c'est la probabilité de faire face, face, puis pile.

Le cumul. Par le complémentaire, $[X > 3]$ signifie que les trois premiers lancers sont des faces, donc $P (X > 3) = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ et $P (X \leq 3) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0, 875.$

Espérance et variance. Les formules du cours donnent $E (X) = \frac{1}{1/2} = 2, V (X) = \frac{1 - 1/2}{( 1/2 ) ^{2}} = \frac{1/2}{1/4} = 2.$

Contrôle direct. $P (X \leq 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ : le calcul par le complémentaire est confirmé.

Énoncé

Corrigé

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