La loi géométrique n'a pas de mémoire

Variables aléatoires discrètes infinies · Queue, absence de mémoire et minimum · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X ↪ G (p)$ , et soient $n$ et $m$ deux entiers positifs. Démontrer que $P_{[X > n]} (X > n + m) = P (X > m)$ . Interpréter, puis vérifier numériquement avec $p = 0, 2$ , $n = 10$ et $m = 5$ .

Corrigé

Le calcul. L'événement $[X > n + m]$ est inclus dans $[X > n]$ , donc leur intersection est $[X > n + m]$ . Par définition d'une probabilité conditionnelle :

$P_{[X > n]} (X > n + m) = \frac{P ( X > n + m )}{P ( X > n )} = \frac{( 1 - p ) ^{n + m}}{( 1 - p ) ^{n}} = (1 - p)^{m} = P (X > m) .$

Interprétation. Sachant qu'on a déjà échoué $n$ fois, la probabilité de devoir encore échouer $m$ fois est la même qu'au départ. Les épreuves passées n'influencent en rien la suite : la loi géométrique « oublie » son passé.

Vérification numérique. Avec $p = 0, 2$ : $P (X > 15) = 0, 8^{15}$ et $P (X > 10) = 0, 8^{10}$ , donc le quotient vaut $0, 8^{5} = 0, 32768$ , qui est exactement $P (X > 5)$ .

Le piège. On croit souvent qu'après une longue série d'échecs, « ça va finir par tomber ». C'est faux ici, et c'est précisément ce que dit ce résultat.

Énoncé

Corrigé

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