La probabilité d'un rang pair

La somme à calculer. Les valeurs paires sont $k=2,4,6,\dots$, c'est-à-dire $k=2j$ avec $j\ge 1$ :

$$P(X\text{ pair})=\sum _{j\ge 1}(1-p{)}^{2j-1}p=p(1-p)\sum _{j\ge 1}((1-p{)}^2{)}^{j-1}.$$

La série géométrique. Sa raison est $(1-p{)}^2$, comprise entre $0$ et $1$, donc la série converge et vaut $\frac{1}{1-(1-p{)}^2}$. Or $1-(1-p{)}^2=2p-p^2=p(2-p)$, d'où

$$P(X\text{ pair})=\frac{p(1-p)}{p(2-p)}=\frac{1-p}{2-p}.$$

Application. Pour $p=0,2$ : $P(X\text{ pair})=\frac{0,8}{1,8}=\frac{4}{9}\approx 0,4444$.

Contrôle. Ce nombre est toujours strictement inférieur à $\frac{1}{2}$, ce qui est rassurant : la loi géométrique décroît, donc chaque rang impair pèse plus lourd que le rang pair qui le suit immédiatement.