La probabilité d'un rang pair

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Queue, absence de mémoire et minimum

Énoncé

Soit $X ↪ G (p)$ . Calculer la probabilité que $X$ soit pair, en fonction de $p$ . Application à $p = 0, 2$ .

Corrigé

La somme à calculer. Les valeurs paires sont $k = 2, 4, 6, \dots$ , c'est-à-dire $k = 2 j$ avec $j \geq 1$ :

$P (X pair) = j \geq 1 \sum (1 - p)^{2 j - 1} p = p (1 - p) j \geq 1 \sum ((1 - p)^{2})^{j - 1} .$

La série géométrique. Sa raison est $(1 - p)^{2}$ , comprise entre $0$ et $1$ , donc la série converge et vaut $\frac{1}{1 - ( 1 - p ) ^{2}}$ . Or $1 - (1 - p)^{2} = 2 p - p^{2} = p (2 - p)$ , d'où

$P (X pair) = \frac{p ( 1 - p )}{p ( 2 - p )} = \frac{1 - p}{2 - p} .$

Application. Pour $p = 0, 2$ : $P (X pair) = \frac{0 , 8}{1 , 8} = \frac{4}{9} \approx 0, 4444$ .

Contrôle. Ce nombre est toujours strictement inférieur à $\frac{1}{2}$ , ce qui est rassurant : la loi géométrique décroît, donc chaque rang impair pèse plus lourd que le rang pair qui le suit immédiatement.

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