La queue d'une loi géométrique

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Queue, absence de mémoire et minimum

Énoncé

Soit $X ↪ G (p)$ . Démontrer que $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ pour tout entier $n \geq 0$ , de deux manières. Application avec $p = 0, 2$ et $n = 5$ .

Corrigé

Première méthode : par l'événement. $[X > n]$ signifie que les $n$ premières épreuves ont toutes échoué. Par indépendance, sa probabilité est le produit de $n$ facteurs $(1 - p)$ , soit $(1 - p)^{n}$ .

Seconde méthode : par la série. En posant $j = k - n - 1$ :

$P (X > n) = k > n \sum (1 - p)^{k - 1} p = p (1 - p)^{n} j \geq 0 \sum (1 - p)^{j} = p (1 - p)^{n} \times \frac{1}{p} = (1 - p)^{n} .$

Application. Pour $p = 0, 2$ et $n = 5$ : $P (X > 5) = 0, 8^{5} = 0, 32768$ , donc $P (X \leq 5) = 0, 67232$ .

Ce qu'il faut en retenir. La première méthode est immédiate et se retient ; la seconde montre que la formule n'est qu'une série géométrique déguisée.

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