La queue et le cumul

La formule de la queue. Dire que $X>n$, c'est dire que les $n$ premières épreuves sont toutes des échecs. Par indépendance, $$P(X>n)=(1-p{)}^n.$$

La première valeur. Avec $p=0,4$, donc $1-p=0,6$ : $$P(X>3)=(0,6{)}^3=0,216.$$

Le cumul. Les événements $[X>3]$ et $[X\le 3]$ sont contraires, donc $$P(X\le 3)=1-0,216=0,784.$$

La valeur en $4$. La formule de la loi géométrique donne $$P(X=4)=(0,6{)}^3\times 0,4=0,216\times 0,4=0,0864.$$

Contrôle. On peut retrouver $P(X\le 3)$ terme à terme : $0,4+0,24+0,144=0,784$. Les deux calculs coïncident, et le second confirme que passer par le complémentaire est bien plus rapide.