La valeur la plus probable

Ce qu'on montre. Le rapport de deux probabilités consécutives dit si la suite monte ou descend, et donne le maximum sans calculer une seule probabilité.

Le rapport. Toutes les probabilités sont strictement positives, donc le quotient a un sens. Comme $(k+1)!=(k+1)\times k!$ et que l'exponentielle se simplifie, $$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{{\lambda }^{k+1}}{{\lambda }^k}\times \frac{k!}{(k+1)!}=\frac{\lambda }{k+1}.$$

Ce que le rapport dit. Il dépasse $1$ si et seulement si $k+1<\lambda$, c'est-à-dire $k<\lambda -1$. La suite des probabilités monte tant que $k<\lambda -1$, puis descend dès que $k>\lambda -1$ : son maximum est au dernier indice de la montée.

Le cas $\lambda =4,3$. Ici $\lambda -1=3,3$. Pour $k=3$ le rapport vaut $\frac{4,3}{4}=1,075>1$, donc $P(X=4)>P(X=3)$ ; pour $k=4$ il vaut $\frac{4,3}{5}=0,86<1$, donc $P(X=5)<P(X=4)$. La probabilité est maximale pour $k=4$.

Contrôle numérique. Avec ${\mathrm{e}}^{-4,3}\approx 0,013569$ : $P(X=3)\approx 0,180$, $P(X=4)\approx 0,193$ et $P(X=5)\approx 0,166$.

Un cas particulier. Si $\lambda -1$ est entier, disons $\lambda =5$, le rapport vaut exactement $1$ pour $k=4$ : il y a alors deux valeurs les plus probables.

Le point à retenir. Comparer $P(X=k+1)$ et $P(X=k)$ par leur QUOTIENT, et non par leur différence, est le bon geste dès que factorielles et puissances sont en jeu : tout se simplifie.