Le coût d'un contrat d'entretien

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Modéliser une situation

Énoncé

Le nombre $X$ de pannes d'une machine au cours d'une semaine suit la loi de Poisson de paramètre $λ = 0, 8$ . Le contrat d'entretien coûte $200$ euros de forfait, plus $150$ euros par panne. On note $C = 200 + 150 X$ le coût hebdomadaire. Calculer $E (C)$ , $σ (C)$ , puis $P (C > 400)$ .

Corrigé

Les deux moments de $X$ . Pour une loi de Poisson de paramètre $λ$ , $E (X) = V (X) = λ = 0, 8$ .

L'espérance du coût. Par linéarité de l'espérance, $E (C) = 200 + 150 E (X) = 200 + 150 \times 0, 8 = 320 euros .$

L'écart-type du coût. La variance n'est pas linéaire : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ . Ici $V (C) = 15 0^{2} \times 0, 8 = 22500 \times 0, 8 = 18000, σ (C) = 18000 \approx 134 euros .$ Le forfait de $200$ euros n'intervient pas : ajouter une constante ne change pas la dispersion.

La probabilité de dépasser $400$ euros. $C > 400$ équivaut à $150 X > 200$ , c'est-à-dire $X > \frac{4}{3}$ . Comme $X$ est un entier, cela équivaut à $X \geq 2$ . Par le complémentaire, $P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 - e^{- 0, 8} (1 + 0, 8) .$ Avec $e^{- 0, 8} \approx 0, 4493$ : $P (C > 400) \approx 1 - 0, 8088 = 0, 191$ .

Interprétation. Le coût moyen est de $320$ euros, mais il dépasse $400$ euros près d'une semaine sur cinq. L'écart-type de $134$ euros dit bien que ce coût est loin d'être régulier.

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