Le premier des deux

Ce qu'on montre. Le minimum de deux variables géométriques indépendantes est encore géométrique, et c'est la queue qui le démontre.

La queue. Avec $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{G}(q)$ indépendantes, $Z=\min (X,Y)$. Dire que $Z>n$, c'est dire qu'aucune des deux machines n'est tombée en panne pendant les $n$ premiers jours : $[Z>n]=[X>n]\cap [Y>n]$. Par indépendance et par la formule de la queue géométrique, $$P(Z>n)=(1-p{)}^n(1-q{)}^n=[(1-p)(1-q){]}^n.$$

L'identification. Posons $r=1-(1-p)(1-q)$, de sorte que $P(Z>n)=(1-r{)}^n$ ; comme $p$ et $q$ sont dans $\left]0,1\right[$, $r$ y est aussi. On passe de la queue à la loi par différence : $$P(Z=k)=P(Z>k-1)-P(Z>k)=(1-r{)}^{k-1}-(1-r{)}^k=(1-r{)}^{k-1}r.$$ C'est exactement $\mathcal{G}(r)$. Le point délicat est ce passage : sans lui on n'aurait identifié qu'une fonction de répartition, pas une loi.

L'application. $r=1-0,9\times 0,8=0,28$, donc $E(Z)=\frac{1}{0,28}\approx 3,57$ jours.

Contrôle. Séparément, $E(X)=10$ et $E(Y)=5$ jours. La première des deux pannes arrive nécessairement avant $5$ jours en moyenne : $3,57$ est cohérent.

Le point à retenir. Devant un minimum, on ne calcule jamais la loi directement : on passe par $P(Z>n)$, qui change un « au moins l'un » en une intersection, donc en un produit dès qu'il y a indépendance.