Le standard téléphonique

Variables aléatoires discrètes infinies · La loi de Poisson · niveau 2

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Un standard reçoit en moyenne $3$ appels par minute. On note $X$ le nombre d'appels reçus pendant une minute donnée, supposé de loi $P (3)$ . Calculer $P (X \leq 2)$ et $P (X \geq 3)$ . Que devient le paramètre si l'on compte sur cinq minutes ?

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Au plus deux appels.

$P (X \leq 2) = e^{- 3} (\frac{3 ^{0}}{0 !} + \frac{3 ^{1}}{1 !} + \frac{3 ^{2}}{2 !}) = e^{- 3} (1 + 3 + 4, 5) = 8, 5 e^{- 3} \approx 0, 4232.$

Au moins trois. $P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2) \approx 0, 5768$ .

Sur cinq minutes. Le nombre moyen d'appels est multiplié par $5$ : le paramètre devient $λ^{'} = 15$ , et le nombre $Y$ d'appels de cinq minutes suit $P (15)$ , avec $E (Y) = 15$ et $σ (Y) = 15 \approx 3, 87$ .

Attention à l'écart-type. L'espérance est multipliée par $5$ , mais l'écart-type seulement par $5$ : en relatif, le comptage est plus régulier sur cinq minutes que sur une seule.

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