Le stock à prévoir pour une journée

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Modéliser une situation

Énoncé

La demande journalière $X$ d'un article suit la loi de Poisson de paramètre $λ = 3$ . Le gérant veut un stock $s$ tel que la demande soit entièrement satisfaite avec une probabilité d'au moins $0, 95$ . Déterminer le plus petit entier $s$ convenable, et donner la probabilité de rupture correspondante.

Corrigé

La condition à écrire. La demande est satisfaite lorsque $X \leq s$ . On cherche donc le plus petit entier $s$ tel que $P (X \leq s) = k = 0 \sum s e^{- 3} \frac{3 ^{k}}{k !} \geq 0, 95.$

Les probabilités élémentaires. Avec $e^{- 3} \approx 0, 049787$ : $P (X = 0) \approx 0, 0498, P (X = 1) \approx 0, 1494, P (X = 2) \approx 0, 2240, P (X = 3) \approx 0, 2240,$ $P (X = 4) \approx 0, 1680, P (X = 5) \approx 0, 1008, P (X = 6) \approx 0, 0504.$ On remarque au passage $P (X = 2) = P (X = 3)$ , car $3^{3} /3! = 3^{2} /2!$ .

Le cumul. $P (X \leq 4) \approx 0, 8153, P (X \leq 5) \approx 0, 9161, P (X \leq 6) \approx 0, 9665.$

Conclusion. Le seuil $0, 95$ est franchi pour la première fois à $s = 6$ : il faut prévoir six articles. La probabilité de rupture vaut alors $P (X \geq 7) = 1 - 0, 9665 \approx 0, 0335,$ soit environ une journée sur trente.

Le point délicat. L'espérance vaut $3$ , mais un stock de $3$ ne suffirait que dans $65 %$ des cas : il faut le double de la demande moyenne pour atteindre $95 %$ de sécurité. C'est l'écart-type, $3 \approx 1, 73$ , qui explique ce surcoût.

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