Pourquoi l'espérance ne suffit pas

La loi. Épreuve répétée, répétitions indépendantes, rang du premier succès (ici « succès » signifie « pièce défectueuse ») : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p=0,1$.

L'espérance. $E(X)=\frac{1}{0,1}=10$ : en moyenne, la première pièce défectueuse arrive au dixième rang.

La probabilité d'y être arrivé au dixième rang. Par le complémentaire, $$P(X\le 10)=1-P(X>10)=1-(0,9{)}^{10}.$$ Or $(0,9{)}^{10}\approx 0,3487$, donc $P(X\le 10)\approx 0,651$.

Le commentaire. L'espérance vaut $10$, et pourtant la probabilité que $X$ ne dépasse pas $10$ n'est que de $65\%$ environ : il reste plus d'une chance sur trois de devoir aller au-delà. L'espérance n'est pas une valeur autour de laquelle la variable se serre — elle est ici tirée vers le haut par les rangs élevés, dont la probabilité décroît lentement.

Ce que dit la dispersion. $V(X)=\frac{0,9}{0,01}=90$, donc $\sigma (X)=\sqrt{90}\approx 9,49$ : l'écart-type est presque égal à l'espérance. C'est la signature de la loi géométrique, et la raison pour laquelle un raisonnement fondé sur la seule moyenne y est trompeur.

Contrôle. $P(X\le 22)=1-(0,9{)}^{22}\approx 0,902$ : il faut plus du double de l'espérance pour atteindre $90\%$ de certitude.