mathématiques (ECT 2e année) · Chapitre 5 · Exercice

Premiers calculs de Poisson

Variables aléatoires discrètes infinies · La loi de Poisson · niveau 1 (application)

Énoncé

Le nombre $X$ de clients entrant dans une boutique pendant une minute suit la loi de Poisson de paramètre $λ = 2$ . Calculer $P (X = 0)$ , $P (X \geq 1)$ et $P (X = 2)$ , puis donner $E (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

Aucun client. $P (X = 0) = e^{- 2} \frac{2 ^{0}}{0 !} = e^{- 2} \approx 0, 1353$ .

Au moins un. Par complémentaire : $P (X \geq 1) = 1 - e^{- 2} \approx 0, 8647$ .

Exactement deux. $P (X = 2) = e^{- 2} \frac{2 ^{2}}{2 !} = 2 e^{- 2} \approx 0, 2707$ .

Moments. $E (X) = V (X) = 2$ , donc $σ (X) = 2 \approx 1, 41$ .

Remarque. $P (X = 1) = 2 e^{- 2}$ également : pour $λ = 2$ , les valeurs $1$ et $2$ sont exactement aussi probables l'une que l'autre.

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