Reconnaître la loi du premier succès

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · La loi géométrique, loi du premier succès

Énoncé

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$ , et l'on note $X$ le rang du lancer qui donne ce premier $6$ . Justifier la loi de $X$ , puis calculer $P (X = 3)$ , $P (X \leq 3)$ , $E (X)$ et $V (X)$ .

Corrigé

La loi. Une même épreuve (un lancer), répétée de façon indépendante, et $X$ compte le rang du premier succès : c'est la loi géométrique, de paramètre $p = \frac{1}{6}$ . Donc $X ↪ G (\frac{1}{6})$ .

Une valeur. $P (X = 3) = (\frac{5}{6})^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0, 116$ .

Le cumul. Par la queue : $P (X \leq 3) = 1 - (\frac{5}{6})^{3} = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0, 421$ .

Moments. $E (X) = \frac{1}{1/6} = 6$ et $V (X) = \frac{5/6}{( 1/6 ) ^{2}} = 30$ , donc $σ (X) = 30 \approx 5, 48$ .

Lecture. Il faut six lancers en moyenne, mais l'écart-type est du même ordre : obtenir un $6$ dès le premier lancer, ou après quinze lancers, n'a rien d'étonnant.

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