Trois probabilités et deux moments

La formule. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$ et tout entier $k\ge 0$, $$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}.$$

Les trois valeurs. Avec $\lambda =1$, toutes les puissances de $\lambda$ valent $1$ : $$P(X=0)={\mathrm{e}}^{-1}\frac{1}{0!}={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368,$$ $$P(X=1)={\mathrm{e}}^{-1}\frac{1}{1!}={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368,$$ $$P(X=2)={\mathrm{e}}^{-1}\frac{1}{2!}=\frac{{\mathrm{e}}^{-1}}{2}\approx 0,184.$$ Les rangs $0$ et $1$ sont donc exactement aussi probables l'un que l'autre.

Espérance et écart-type. Pour la loi de Poisson, l'espérance et la variance valent toutes deux $\lambda$ : $$E(X)=1,V(X)=1,\sigma (X)=1.$$

Contrôle de cohérence. La somme des trois probabilités calculées vaut environ $0,920$, donc il reste environ $0,080$ pour tous les rangs $k\ge 3$ : c'est plausible, la loi étant concentrée près de son espérance $1$.