Trois situations, une seule loi géométrique

Ce qu'on montre. La reconnaissance repose sur trois exigences : une même épreuve répétée, des répétitions indépendantes, et $X$ égal au rang du premier succès. Il suffit qu'une seule tombe pour que la réponse soit non.

1. Sans remise : non. La composition de l'urne change à chaque tirage : la probabilité de tirer une rouge vaut $\frac{3}{10}$ au premier tirage, puis $\frac{3}{9}$ ou $\frac{2}{9}$ au deuxième. Les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes. Un second argument suffirait : les $7$ noires ne peuvent retarder une rouge au-delà du huitième tirage, donc $X\le 8$, alors qu'une variable géométrique prend toutes les valeurs de ${\mathbb{N}}^{\ast }$.

2. Le dé : oui. Les lancers sont indépendants et identiques, le succès est « obtenir un résultat pair » de probabilité $p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, et $X$ est le rang du premier succès. Donc $X\hookrightarrow \mathcal{G}\left(\frac{1}{2}\right)$, avec $E(X)=2$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}=2$.

3. Le deuxième pile : non. Les deux premières exigences sont remplies, mais $X$ compte le deuxième succès. La conséquence est immédiate : $P(X=1)=0$, alors qu'une variable géométrique vérifie $P(X=1)=p>0$.

Le point à retenir. « Rang du premier succès » n'est pas une formule magique : chacun des trois mots compte, et le tirage sans remise détruit précisément l'indépendance.