Trouver la constante

La condition. La somme de toutes les probabilités doit valoir $1$. Ici c'est une série géométrique de raison $\frac{1}{5}$, dont la valeur absolue est strictement inférieure à $1$ : elle converge, et $$\sum _{k=0}^{+\infty }c{\left(\frac{1}{5}\right)}^k=\frac{c}{1-\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{4}{5}}=\frac{5c}{4}.$$

La constante. L'égalité $\frac{5c}{4}=1$ donne $c=\frac{4}{5}=0,8$. Cette valeur est positive, donc toutes les probabilités le sont : la loi est bien définie.

La probabilité demandée. Le plus court est de passer par le complémentaire : $$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-c\times 1=1-0,8=0,2.$$

Contrôle par le calcul direct. En factorisant le premier terme, $$\sum _{k=1}^{+\infty }0,8{\left(\frac{1}{5}\right)}^k=0,8\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{1-\frac{1}{5}}=0,8\times \frac{1}{4}=0,2.$$ Les deux valeurs coïncident.