Trouver la constante

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Une loi définie par une série

Énoncé

Soit $c$ un réel. On voudrait définir une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $N$ par $P (X = k) = c (\frac{1}{5})^{k}$ . Déterminer $c$ , puis calculer $P (X \geq 1)$ .

Corrigé

La condition. La somme de toutes les probabilités doit valoir $1$ . Ici c'est une série géométrique de raison $\frac{1}{5}$ , dont la valeur absolue est strictement inférieure à $1$ : elle converge, et $k = 0 \sum + \infty c (\frac{1}{5})^{k} = \frac{c}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{c}{\frac{4}{5}} = \frac{5 c}{4} .$

La constante. L'égalité $\frac{5 c}{4} = 1$ donne $c = \frac{4}{5} = 0, 8$ . Cette valeur est positive, donc toutes les probabilités le sont : la loi est bien définie.

La probabilité demandée. Le plus court est de passer par le complémentaire : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - c \times 1 = 1 - 0, 8 = 0, 2.$

Contrôle par le calcul direct. En factorisant le premier terme, $k = 1 \sum + \infty 0, 8 (\frac{1}{5})^{k} = 0, 8 \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 0, 8 \times \frac{1}{4} = 0, 2.$ Les deux valeurs coïncident.

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