Un contrôle que l'on arrête au quatrième essai

Ce que $Y$ vaut. Notons $X$ le rang du premier composant en panne : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p=0,3$. Le technicien s'arrêtant au plus tard au quatrième test, $Y$ est le plus petit des deux nombres $X$ et $4$. En particulier $Y(\Omega )=\{1,2,3,4\}$ : $Y$ est une variable finie.

Les trois premières valeurs. Pour $k\in \{1,2,3\}$, dire que $Y=k$, c'est dire que $X=k$ : $$P(Y=1)=0,3,P(Y=2)=0,3\times 0,7=0,21,P(Y=3)=0,3\times (0,7{)}^2=0,147.$$

La dernière. $Y=4$ dès que $X\ge 4$, c'est-à-dire dès que les trois premiers composants sont bons — que le quatrième tombe en panne ou non. C'est le point délicat : cette case regroupe deux issues différentes. Par indépendance, $$P(Y=4)=P(X\ge 4)=(0,7{)}^3=0,343.$$

Contrôle. $0,3+0,21+0,147+0,343=1$ : c'est bien une loi de probabilité.

L'espérance. $$E(Y)=1(0,3)+2(0,21)+3(0,147)+4(0,343)=0,3+0,42+0,441+1,372=2,533.$$

Deux contrôles de cohérence. D'une part $E(Y)\le 4$, puisque $Y$ ne dépasse jamais $4$. D'autre part $E(Y)\le E(X)=\frac{1}{0,3}\approx 3,33$, puisque $Y\le X$ toujours. Les deux sont vérifiés.