Une loi bâtie sur un télescopage à deux crans

La somme partielle. L'identité admise fait de la somme un télescopage. En posant $a_k=\frac{1}{k(k+1)}$, le terme général vaut $\frac{1}{2}(a_k-a_{k+1})$, donc $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}(a_1-a_{n+1})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).$$

La limite. Quand $n\to +\infty$, $\frac{1}{(n+1)(n+2)}\to 0$, donc la série converge et $$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$

La constante. La condition ${\sum }_{k}P(X=k)=1$ s'écrit $\frac{c}{4}=1$, donc $c=4$. Toutes les probabilités sont alors positives : la loi est bien définie.

Les premières valeurs. $P(X=1)=\frac{4}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3}$ et $P(X=2)=\frac{4}{2\times 3\times 4}=\frac{1}{6}$, donc $$P(X\le 2)=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$

La queue. $P(X>n)$ est la somme totale moins la somme partielle, multipliée par $c=4$ : $$P(X>n)=4\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)\right]=\frac{2}{(n+1)(n+2)}.$$

Contrôles. Pour $n=0$ : $\frac{2}{1\times 2}=1$, et $X$ est bien toujours au moins égale à $1$. Pour $n=2$ : $\frac{2}{3\times 4}=\frac{1}{6}$, et $1-P(X\le 2)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$.