Une loi bâtie sur un télescopage

Ce qu'on montre. Une loi de probabilité sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ se valide par une série — et celle-ci n'est pas géométrique : elle se somme par télescopage.

La somme partielle. Pour $k\ge 1$, $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$, donc la somme est télescopique : $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$$

La constante. Cette somme tend vers $1$, donc la série converge et ${\sum }_{k\ge 1}\frac{c}{k(k+1)}=c$. Le total doit valoir $1$ : $c=1$. Et chaque $P(X=k)=\frac{1}{k(k+1)}$ est positif : les deux conditions d'une loi de probabilité sont remplies.

Les premières probabilités. $P(X\le 3)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ce que la somme partielle en $n=3$ redonne directement : $1-\frac{1}{4}$.

La queue. $[X>n]$ est le contraire de $[X\le n]$, donc $$P(X>n)=1-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n+1}.$$

Contrôle. Pour $n=3$, $P(X>3)=\frac{1}{4}$ et l'on a bien $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$. La queue tend vers $0$, comme il se doit.

Le point à retenir. Toutes les lois discrètes infinies ne sont pas géométriques. La question reste la même — la série des probabilités converge-t-elle vers $1$ ? — mais l'outil change.