Une loi donnée par une série

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 5 — Variables aléatoires discrètes infinies · Une série qui définit une loi

Énoncé

Une variable $X$ à valeurs dans $N^{*}$ vérifie $P (X = k) = \frac{2}{3 ^{k}}$ . Vérifier que c'est une loi de probabilité, reconnaître la loi de $X$ , puis donner $E (X)$ et $V (X)$ .

Corrigé

C'est une loi. Les nombres sont positifs et

$k \geq 1 \sum \frac{2}{3 ^{k}} = 2 \times \frac{1/3}{1 - 1/3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1.$

Reconnaissance. Écrivons $\frac{2}{3 ^{k}} = (\frac{1}{3})^{k - 1} \times \frac{2}{3}$ . C'est la forme $(1 - p)^{k - 1} p$ avec $p = \frac{2}{3}$ : donc $X ↪ G (\frac{2}{3})$ .

Moments. $E (X) = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$ et $V (X) = \frac{1/3}{( 2/3 ) ^{2}} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ .

Contrôle de bon sens. Avec $p = \frac{2}{3}$ , le succès arrive presque toujours au premier ou au deuxième essai : $P (X = 1) = \frac{2}{3}$ et $P (X = 2) = \frac{2}{9}$ , soit déjà $\frac{8}{9}$ des cas. Une moyenne de $1, 5$ est cohérente.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.